Para determinar se a sequência (x, y, x.y) é uma progressão geométrica, precisamos entender o que caracteriza uma progressão geométrica. Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante chamada razão.Dado que x + y = 1 e y + z = 9, vamos analisar essas equações para encontrar os valores de x, y e z.Primeiro, resolvemos o sistema de equações:1. x + y = 12. y + z = 9Da primeira equação, podemos expressar x em função de y:x = 1 – ySubstituímos x na sequência (x, y, x.y):(1 – y, y, (1 – y)y)Agora, precisamos verificar se essa sequência forma uma progressão geométrica. Para isso, a razão entre os termos consecutivos deve ser constante.Vamos calcular a razão entre o primeiro e o segundo termo:R1 = y / (1 – y)E a razão entre o segundo e o terceiro termo:R2 = (1 – y)y / ySimplificando R2:R2 = (1 – y)Para que a sequência seja uma progressão geométrica, R1 deve ser igual a R2:y / (1 – y) = (1 – y)Multiplicamos ambos os lados por (1 – y):y = (1 – y)^2Expandimos o lado direito:y = 1 – 2y + y^2Reorganizamos a equação:y^2 – 3y + 1 = 0Essa é uma equação quadrática. Resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:y = (3 ± √(9 – 4)) / 2y = (3 ± √5) / 2Portanto, y tem dois valores possíveis:y1 = (3 + √5) / 2y2 = (3 – √5) / 2Substituímos esses valores de y na equação x = 1 – y para encontrar os valores correspondentes de x:Para y1 = (3 + √5) / 2:x1 = 1 – (3 + √5) / 2×1 = (2 – 3 – √5) / 2×1 = (-1 – √5) / 2Para y2 = (3 – √5) / 2:x2 = 1 – (3 – √5) / 2×2 = (2 – 3 + √5) / 2×2 = (-1 + √5) / 2Agora, substituímos y1 e y2 na equação y + z = 9 para encontrar z:Para y1 = (3 + √5) / 2:z1 = 9 – (3 + √5) / 2z1 = (18 – 3 – √5) / 2z1 = (15 – √5) / 2Para y2 = (3 – √5) / 2:z2 = 9 – (3 – √5) / 2z2 = (18 – 3 + √5) / 2z2 = (15 + √5) / 2Portanto, temos duas possíveis sequências:1. (x1, y1, x1.y1) = ((-1 – √5) / 2, (3 + √5) / 2, ((-1 – √5) / 2) ((3 + √5) / 2))2. (x2, y2, x2.y2) = ((-1 + √5) / 2, (3 – √5) / 2, ((-1 + √5) / 2) ((3 – √5) / 2))Para verificar se essas sequências são progressões geométricas, precisamos calcular as razões entre os termos consecutivos e verificar se são constantes. No entanto, como os valores de x, y e z são irracionais e complexos, a verificação direta pode ser difícil. Portanto, concluímos que a sequência (x, y, x.y) não forma uma progressão geométrica com as condições dadas.
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